数理最適化
数理最適化は、制約条件の下で特定の目標（目的関数）を最大化または最小化する手法を指します。この手法は、資源の最適配分、工程の効率化、コスト削減など、多岐にわたる応用を持ちます。最新の情報と技術を基に、線形計画法（LP）、整数計画法（IP）、非線形計画法（NLP）、動的計画法（DP）などの具体的な最適化手法を体系的に解説します。
数理最適化の基本概念と手法
数理最適化では、変数、目的関数、制約条件の3要素が基本となります。これらの要素を元に問題を定式化し、最適な解を探索します。
数理最適化の目的関数と制約条件
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目的関数
数理最適化の目標となる指標で、最大化（収益、効率、利益など）または最小化（コスト、時間、リスクなど）のいずれかを設定します。 -
制約条件
問題の現実的な条件やリソースの限界を制約として数式化します。制約条件には等式、不等式、そして整数条件（変数が整数に限定される場合）などがあり、これにより問題の難易度が変わります。
最適化手法の分類
数理最適化の手法は、問題の構造によって以下のように分類されます。
| 分類 | 特徴 | 例 |
|---|---|---|
| 線形計画法 | 目的関数と制約が線形方程式・不等式で構成される | 資源配分問題 |
| 整数計画法 | 変数が整数値をとる制約がある | 配車計画、設備配置 |
| 非線形計画法 | 非線形の目的関数や制約が含まれる | 設備の最適化、製造工程設計 |
| 動的計画法 | 時間的に変化する問題を分割して解く | ルート最適化、在庫管理 |
線形計画法の基礎と応用
線形計画法（Linear Programming, LP）は、目的関数および制約条件がすべて線形で構成される最適化手法です。単純な線形モデルで表現可能な問題に対して有効です。
線形計画法の数理モデル
線形計画法では、以下の一般形で問題を定式化します。
[ \text{Maximize } \quad z = c_1x_1 + c_2x_2 + \cdots + c_nx_n ] [ \text{subject to } \quad a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n \leq b_1 ] [ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n \leq b_2 ] [ x_j \geq 0 \quad \forall j ]
ここで、( z )は目的関数の値、( c_i )は各変数の係数、( x_j )は決定変数、( a_{ij} )は制約条件の係数、( b_i )は各制約の右辺値です。
線形計画法の解法と実用性
線形計画法の代表的な解法には、以下の2種類があります。
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単体法
単体法は頂点を順次探索する手法で、効率的に最適解へ到達します。多くの実務で利用され、特に商業ソフトウェアで広く実装されています。 -
内点法
内点法は問題の内部を探索する方法で、大規模な問題に適しています。計算効率の向上により、数千以上の変数を持つ問題にも対応可能です。
応用例：資源配分問題
ある企業が複数の製品を製造する場合に、原材料や労働力といった資源をどのように分配するかが課題となります。この問題は次のように定式化できます。
[ \text{Maximize } \quad z = 3x_1 + 5x_2 ] [ \text{subject to } \quad x_1 + 2x_2 \leq 8 ] [ 2x_1 + x_2 \leq 10 ] [ x_1, x_2 \geq 0 ]
ここで、( x_1 )と( x_2 )は製品の生産量、目的関数は総利益を表します。
整数計画法の技術と応用
整数計画法（Integer Programming, IP）は、変数が整数を取る制約がある最適化手法です。配車計画や設備配置などの現実的な課題に対応可能で、特に物流や製造業で活用されています。
整数計画法の数理モデル
整数計画法の基本形は、次のように表されます。
[ \text{Maximize } \quad z = c_1x_1 + c_2x_2 + \cdots + c_nx_n ] [ \text{subject to } \quad a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n \leq b_1 ] [ x_j \in \mathbb{Z}_{\geq 0} \quad \forall j ]
整数計画法では、線形計画法と異なり変数が整数となる制約が加わります。この制約により、問題は解法において難易度が増します。
解法と計算負荷
整数計画法は計算量が膨大となるため、効率的な解法が求められます。一般的な手法として、分枝限定法とカット法があります。
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分枝限定法
解候補を逐次的に探索し、制約を満たさない分枝を早期に排除します。この方法は探索空間を大幅に削減できる一方、最悪の場合の計算負荷は大きくなります。 -
カット法
不適合な解を排除するカットを追加しながら解を絞り込む方法です。特に、大規模な問題で効率を向上させるために有効です。
応用例：配車計画問題
例えば、複数の配送拠点と顧客を持つ配車計画問題では、配送車両の数や移動距離を最小化するように配送経路を最適化します。この問題は次のように整数計画法で表現されます。
[ \text{Minimize } \quad z = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m c_{ij} x_{ij} ] [ \text{subject to } \quad \sum_{j=1}^m x_{ij} = 1 \quad \forall i ] [ x_{ij} \in {0,1} \quad \forall i, j ]
ここで、( x_{ij} )は配送経路の選択変数、( c_{ij} )は配送コストを示し、( z )は総配送コストの最小化を目的としています。
非線形計画法と複雑性の対応
非線形計画法（Nonlinear Programming, NLP）は、非線形の目的関数や制約条件を持つ最適化問題を解く手法です。エネルギー効率の最適化や複雑な工程設計の場面で利用されます。
非線形計画法の数理モデル
非線形計画法の一般的な数式は以下のように表されます。
[ \text{Maximize } \quad f(x_1, x_2, \ldots, x_n) ] [ \text{subject to } \quad g_i(x_1, x_2, \ldots, x_n) \leq b_i \
]
非線形計画法では、目的関数や制約関数の構造により解法が異なります。
ラグランジュの未定乗数法と勾配法
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ラグランジュの未定乗数法
制約条件を満たしつつ目的関数を最適化するための解法です。目的関数に制約条件を乗数として追加し、未定乗数の方程式を導き解きます。 -
勾配法
勾配法は目的関数の勾配を用いて解を探る方法で、連続的な変数の最適解を見つける際に効果的です。勾配を計算し、勾配の方向に向かって最適解を求めます。
応用例：エネルギー効率の最適化
非線形計画法の応用例として、エネルギー効率の最適化が挙げられます。ある施設でエネルギー消費を最小化するための問題は以下のように表されます。
[ \text{Minimize } \quad f(x) = x_1^2 + x_2^2 + 3x_3^2 ] [ \text{subject to } \quad x_1 + x_2 + x_3 = 1 ]
ここで、( x_1, x_2, x_3 )は各装置の稼働率を示し、目的関数はエネルギー消費量です。勾配法やラグランジュ法で効率的な稼働率を求め、消費電力を削減します。
動的計画法と時間的制約の考慮
動的計画法（Dynamic Programming, DP）は、時間的に変化する問題を段階的に解く方法で、特にルートの最適化や在庫管理において適用されます。計画の各段階で部分解を保存し、再利用することで計算効率を高めます。
動的計画法の数理モデル
動的計画法では、問題を部分問題に分解し、以下のように再帰的に解きます。
[ V(s) = \max_{a \in A(s)} \left{ R(s, a) + \gamma V(s’) \right} ]
ここで、( V(s) )は状態( s )の価値、( R(s, a) )は行動( a )をとった際の報酬、( \gamma )は割引率です。
応用例：在庫管理の最適化
在庫管理では、在庫を最適な水準に保ちつつコストを最小化することが求められます。この問題を動的計画法で解く場合、各期間での注文量を調整し、在庫コストと注文コストのバランスを図ります。